数学中,李余代数(Lie coalgebra)是与李代数对偶的结构。
在有限维情形,它们是对偶的对象:李代数的对偶向量空间上自然有一个李余代数结构,反之亦然。
设 E 是域 k 上一个向量空间,上有一个线性映射
从 E 到 E 与自身的外积。可将 d 惟一扩张成 E 的外代数上一个度数为 1 的分次导子[1]:
![{\displaystyle d\colon \bigwedge ^{\bullet }E\rightarrow \bigwedge ^{\bullet +1}E.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c197b4705ff183b31d0dfac71f9e365f35b061)
那么二元组 (E,d) 称为李余代数如果 d2 = 0,即外代数的分次分量与导子一起
构成一个上链复形:
![{\displaystyle E\ \rightarrow ^{\!\!\!\!\!\!d}\ E\wedge E\ \rightarrow ^{\!\!\!\!\!\!d}\ \bigwedge ^{3}E\rightarrow ^{\!\!\!\!\!\!d}\ \dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060d4b3aa3f8fb4f1c06d0fa59e832707c603094)
就像流形上向量场的外代数(张量代数也是)构成一个(基域 K 上的)李代数,流形上微分形式的德拉姆复形形成一个李余代数。进一步,在向量场与微分形式之间有一个配对。
但形式要微妙些:李代数不是光滑函数
上线性的(误差是李导数),外导数也不是:
(它是一个导子,但不是函数线性的),它们不是张量。它们不是在函数上线性的,但它们有一种一致的表现,不能简单地由李代数与余代数刻画。
进一步,在德拉姆复形中,导子不仅对
有定义,而且对
有定义。
向量空间上李代数结构是一个映射
,反对称,且满足雅可比恒等式。等价地,一个映射
满足雅可比恒等式。
对偶地,向量空间上李余代数结构是一个映射
,满足上闭链条件。李括号的对偶诱导一个映射(余交换子)
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]^{*}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\to ({\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}})^{*}\cong {\mathfrak {g}}^{*}\wedge {\mathfrak {g}}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dcce759333e6d8cff4c66a2e991272f59106646)
这里同构
对有限维成立;对偶是李乘积的对偶。在这种情形下,雅可比恒等式对应于上闭链条件。
更明确地,令 E 是一个李余代数。对偶空间 E* 上带有
- α([x, y]) = dα(x∧y),对所有 α ∈ E 与 x,y ∈ E*
定义的括号结构。
我们证明 E* 上所赋予的是一个李括号。只需验证雅可比恒等式。对任意 x, y, z ∈ E* 与 α ∈ E,
![{\displaystyle d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)={\frac {1}{3}}d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z+y\wedge z\wedge x+z\wedge x\wedge y)={\frac {1}{3}}\left(d\alpha ([x,y]\wedge z)+d\alpha ([y,z]\wedge x)+d\alpha ([z,x]\wedge y)\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f00f2de7b751111ef2526bfa8d546b03f24db6b)
这里最后一步是楔积的对偶与对偶的楔积的标准等同。最后,给出
![{\displaystyle d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)={\frac {1}{3}}\left(\alpha ([[x,y],z])+\alpha ([[y,z],x])+\alpha ([[z,x],y])\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec2920ff8ebb8c3c4eb476fb180dd612a775462)
因 d2 = 0,从而
对任意 α, x, y, 与 z。
这样,由双对偶同构雅可比恒等式成立。
特别地,注意到证明指出了上闭链条件 d2 = 0 是雅可比恒等式在某种意义下的对偶。
- ^ 这意味着,对任何齐次元素 a, b ∈ E,
。