拓扑熵

在数学里，拓扑熵是指在一个拓扑动力系统中的一个非负实数，可以用来测量此系统的复杂度。拓扑熵这个概念最先是于1965年由阿德勒、孔翰和麦克安德鲁所提出来的。其定义是由测度熵中导出来的。之后，汀那伯格和洛福斯·鲍恩另给出了一个不同但等价的定义，将其延伸至豪斯多夫维。第二个定义厘清了拓扑熵的意义：对一个由迭代函数给出的系统，拓扑熵表示迭代不同轨道数的指数成长率。变分原理此一重要原理将拓扑及测度熵两种概念相关连了起来。

定义

拓扑动力系统包括一个豪斯多夫空间 X （通常假定为紧致的）和一个连续自映射 f 。其拓扑熵是一个非负实数，可以等价地以许多方式被定义。

阿德勒、孔翰和麦克安德鲁的定义

令 X 是一紧致豪斯多夫空间。对任一 X 的有限覆盖 C ，令 H(C) 为覆盖 X 的 C 的最小元素数量的对数（通常底数为 2 ）。对两个覆盖 C 和 D ，令

$C\vee D$

为其（最小）公精致，包含所有 C 中的元素和 D 中的元素的非零交集。而多个覆盖的公精致也是类似的定义。对任一连续函数 f: X → X　，下面的极限存在：

$H(C,f)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H(C\vee f^{-1}C\vee \ldots \vee f^{-n+1}C).$

则 f 的拓扑熵，标记为 h(f) 即定义为在所可能的有限覆盖 C 上的 H(C,f) 的最小上界。

解释

C 的各部分可能可以被视为是（部分地）描述了 X 上的点 x 的位置的符号：所有点 x ∈ C_i 都被配上符号 C_i 。想像 x 的位置被一特定仪器（不完美地）量测，且 C 的每个部分都会对应于量测的每个可能输出。然后，整数 $H(C\vee f^{-1}C\vee \ldots \vee f^{-n+1}C)$ 则表示译成 X 的点所需长度 n 的“词”的最小数量，依据其头 n-1 次迭代的行为，或另个角度来说，是由划分 C 中“看到”迭代行为“方案”的总数。因此，拓扑熵即为描述映射 f 长迭代所需讯息的平均值。

鲍恩和汀那伯格的定义

此定义使用了在 X （实际上，一致空间即足够）上的度量。令 (X,d)　为一紧致度量空间且 f: X → X 为一连续函数。对每一个自然数 n ，一新度量被定义为

$d_{n}(x,y)=\max\{d(f^{i}(x),f^{i}(y)):0\leq i<n\}.$

给定任一 ε > 0 及 n ≥ 1 ， X 的两点被称为对此度量是 ε-接近的，若其头 n 次迭代是 ε-接近的。此一度量允许将一个轨道的邻域区分成在迭代中相互远离的点以及一起移动的点两种。X 的子集 E 被称之为是 (n, ε)-分离的，若每一对在 E 中的相异点都不是 ε-接近的。令 N(n, ε) 为一 (n, ε)-分离集合的最大势。映射 f 的拓扑熵即被定义为

$h(f)=\lim _{\epsilon \to 0}\left(\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log N(n,\epsilon )\right).$

解释

因为 X 是紧致的， N(n, ε) 会是有限的，且表示长度 n 相异轨道区段的数量，假定我们无法区分 ε-接近的两点。一简单的论证显示定义 h(f) 的极限总是存在于扩展的实数轴中（但可能是无限大）。此一极限可以被解释成对相异轨道区段数量的平均指数成长率的量测。在这意义之下，拓扑熵可以用来量测拓扑动力系统 (X,f) 的复杂性。洛福斯·鲍恩更将拓扑熵的此定义扩展成允许 X 是非紧致的样式。

另见

• 米尔诺–瑟斯顿捏制定律

参考文献

• R. L. Adler, A. G. Konheim, M. H. McAndrew, (1965), Topological Entropy, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 114, No. 2, pp. 309-319
• Dmitri Anosov, Topological entropy, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Roy Adler, Tomasz Downarowicz, Michał Misiurewicz, Topological entropy （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Scholarpedia

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