扭棱四角反角柱
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| 类别 | 约翰逊多面体 J84 - J85 - J86 | ||
|---|---|---|---|
| 识别 | |||
| 名称 | 扭棱四角反角柱 | ||
| 参考索引 | J85 | ||
| 鲍尔斯缩写 | snisquap | ||
| 数学表示法 | |||
| 施莱夫利符号 | ss{2,8} | ||
| 性质 | |||
| 面 | 26 | ||
| 边 | 40 | ||
| 顶点 | 16 | ||
| 欧拉特征数 | F=26, E=40, V=16 （χ=2） | ||
| 组成与布局 | |||
| 面的种类 | 8+16个三角形 2个正方形 | ||
| 顶点图 | 8个(35) 8个(34.4) | ||
| 对称性 | |||
| 对称群 | D4v群 | ||
| 特性 | |||
| 凸多面体 | |||
| 图像 | |||
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扭棱四角反角柱（英文：Snub square antiprism）是约翰逊多面体的其中一个，其所引为J85[1]。它无法由帕雷托立体（正多面体）和阿基米得立体（半正多面体）经过切割、增补而得来。扭棱四角反角柱是约翰逊多面体中的基本立体之一。约翰逊多面体是凸多面体，面皆由正多边形组成但不属于均匀多面体，共有92种。这些立体最早在1966年由诺曼·约翰逊（Norman Johnson）命名并给予描述[2]。
性质
[编辑]扭棱四角反角柱共由26个面、40条边和16顶点所组成[3][4][5]。在其26个面中，有24个三角形和2个正方形[3]。在其16个顶点中，有8个顶点是5个三角形的公共顶点[5]，在顶点图中可以用[35]来表示[6]、另外8个顶点是4个三角形和1个正方形的公共顶点[5]，在顶点图中可以用[34,4]来表示[6]。
构造
[编辑]形如其名地，扭棱四角反角柱可以透过将四角反角柱套用扭棱变换来构造。在施莱夫利符号中可以表示为ss{2,8}，其中s{2,8}是四角反角柱[7]，其中的扭棱是考克斯特扭棱；而在康威扭棱中，扭棱四角反角柱可以透过将四角锥套用康威扭棱来构造，在康威多面体表示法中可以表示为sY4[8]。
体积与表面积
[编辑]若一个扭棱四角反角柱边长为，则其表面积为：[9]
而其体积为：
其中是下列多项式的最大实根：
顶点座标
[编辑]令为下列三次式的正实根，约为：
和h约为：
则边长为2的扭棱四角反角柱的顶点座标由下列顶点的轨道的并集在绕z轴旋转90°和绕垂直于z轴并与x轴夹角22.5°的直线旋转180°所产生的空间对称群之群作用下给出：[12]
扭棱反角柱
[编辑]类似的造方式之多面体还有扭棱三角反角柱（施莱夫利符号：ss{2,6}）为经过扭棱变换的三角反角柱（可以视为一个对称性较低的正八面体），其结果为伪二十面体（可以视为一个对称性较低的正二十面体）。另一个为扭棱五角反角柱（施莱夫利符号：ss{2,10}）甚至是更高边数的扭棱反角柱，但其结果不会是由正三角形构成的凸多面体。边数更少的扭棱二角反角柱（施莱夫利符号：ss{2,4}）对应另一个约翰逊多面体——扭棱锲形体，但必须在二角反角柱中保留两个退化的对角面（以红色绘制）。这些都可以视为一系列扭棱反角柱无穷序列的一项。[7]
| 对称性 | D2d, [2+,4], (2*2) | D3d, [2+,6], (2*3) | D4d, [2+,8], (2*4) | D5d, [2+,10], (2*5) |
|---|---|---|---|---|
| 反角柱 |  s{2,4} A2     （顶点：4、 边：8、 面：6） |
 s{2,6} A3 （页面存档备份，存于互联网档案馆）  （顶点：6、 边：12、 面：8） |
 s{2,8} A4 （页面存档备份，存于互联网档案馆）  （顶点：8、 边：16、 面：10） |
 s{2,10} A5 （页面存档备份，存于互联网档案馆）  （顶点：10、 边：20、 面：12） |
| 截角反角柱 |  ts{2,4} tA2 （顶点：16、边：24、面：10） |
 ts{2,6} tA3 （页面存档备份，存于互联网档案馆） （顶点：24、 边：36、 面：14） |
 ts{2,8} tA4 （页面存档备份，存于互联网档案馆） （顶点：32、 边：48、 面：18） |
 ts{2,10} tA5 （页面存档备份，存于互联网档案馆） （顶点：40、 边：60、 面：22） |
| 对称性 | D2, [2,2]+, (222) | D3, [3,2]+, (322) | D4, [4,2]+, (422) | D5, [5,2]+, (522) |
| 扭棱反角柱 | J84 | 二十面体 | J85 | 凹 |
| sY3 （页面存档备份，存于互联网档案馆） = HtA3 | sY4 （页面存档备份，存于互联网档案馆） = HtA4 | sY5 （页面存档备份，存于互联网档案馆） = HtA5 | ||
 ss{2,4} （顶点：8、 边：20、 面：14） |
 ss{2,6} （顶点：12、 边：30、 面：20） |
 ss{2,8} （顶点：16、 边：40、 面：26） |
 ss{2,10} （顶点：20、 边：50、 面：32） |
参见
[编辑]参考文献
[编辑]- ^ Weisstein, Eric W. (编). Snub Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8
- ^ 3.0 3.1 David I. McCooey. Johnson Solids: Snub square antiprism. [2022-09-07]. （原始内容存档于2022-09-09）.
- ^ The snub square antiprism. qfbox.info. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-09-09）.
- ^ 5.0 5.1 5.2 Snub square antiprism. polyhedra.tessera.li. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-09-09）.
- ^ 6.0 6.1 Richard Klitzing. snub square antiprism, snisquap. bendwavy.org. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-01-25）.
- ^ 7.0 7.1 Jim McNeill. Snub Anti-Prisms. orchidpalms.com. [2019-09-28]. （原始内容存档于2019-03-27）.
- ^ PolyHédronisme. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-03-10）.
- ^ Wolfram, Stephen. "Snub square antiprism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
- ^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020,
PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "SurfaceArea"] - ^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020,
MinimalPolynomial[PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "Volume"], x] - ^ Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 725. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0.