戴德金整环

在环论中，戴德金整环是戴德金为了弥补一般数域中算术基本定理的空缺而引入的概念。在戴德金整环中，任意理想可以唯一地分解成素理想之积。

定义

戴德金整环指的是有乘法单位元素 $1$，并具备下述性质的交换诺特整环 $A$：

1. $A$ 不是域。
2. $A$ 的非零素理想皆为极大理想。
3. $A$ 整闭。

前两条可合并为：$A$ 之克鲁尔维度等于一。另一种表述方式如下：

1. $A$ 对任意极大理想之局部化为离散赋值环。
2. $A$ 的非零理想皆可逆。换言之：对任意理想 $0\neq I\subset A$，存在 $A$ 的分式环 $K(A)$ 中的有限生成 $A$-子模 $J$，使得 $I\cdot J=A$。

例子

• 主理想环与域上的多项式环皆为戴德金整环。
• 交换代数的一条定理断言：若 $A$ 是戴德金整环，$K=K(A)$ 为其分式域，$L/K$ 是有限扩张，则 $A$ 在 $L$ 中的整闭包也是戴德金整环。
• $\mathbb {Z}$ 是最基本的例子，再配合前述定理，可知数域中的代数整数环皆为戴德金整环。这是戴德金整环在代数数论中的主要应用，也是戴德金引介此概念的原始动机。

唯一分解性质

戴德金整环的分式理想定义为分式环 $K(A)$ 中形如 $aI$ 之 $A$-子模，其中 $a\in K(A)^{\times }$ 而 $I$ 是 $A$ 中的理想。分式理想之间可以定义乘法 $aI\cdot bJ=abJ$，因而非零分式理想构成一个么半群，其单位元素为 $A$。戴德金整环的性质保证此结构是一个群，换言之，任何非零分式理想皆可逆。

若一理想 $I$ 可由某元素 $a\in A$ 生成，则称之主理想；可采类似办法定义主分式理想。

此外，戴德金整环中的分式理想有唯一分解性：任意分式理想 $I$ 可唯一地表成

$I=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{r_{\mathfrak {p}}}$

其中 ${\mathfrak {p}}$ 过有限个 $A$ 的素理想，$r_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {Z}$。$I$ 是理想当且仅当 $\forall {\mathfrak {p}}\;r_{\mathfrak {p}}\geq 0$。

类群

在一般的数域 $K$ 上，代数整数未必能唯一地表成素数的乘积，但可唯一表成素理想的乘积。在所有理想中，仅有主理想对应到“真正”的代数整数。此时重要的不变量是理想类群与类数，它们量度了理想与主理想的差距：

$\mathrm {Cl} _{K}:=$ (分式理想)/(主分式理想)

$h_{K}:=|\mathrm {Cl} _{K}|$

可证明理想类群总是有限交换群。

文献

• Bourbaki, Nicolas (1972), Commutative Algebra, Addison-Wesley