Q的环图。每一种颜色代表连结至单位元(1)之任一元素的次方。例如,红色的环反映了
、
和
,亦反映了
、
和
。
在群论里,四元群
(Quaternion Group) 是指一个阶为8的非交换群,常被简写为
,且用乘法的形式表示。包含下列8个元素:
![{\displaystyle Q=\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f599aaec289f3494e1a8ef96f4d25010e8fedf6)
其中,
代表单位元素,且
。对于每个元素
,有
的关系。另外,
![{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899610c19f2ca4230e116b0465112141eaced989)
的凯莱表如下:
|
1 |
i |
j |
k |
−1 |
−i |
−j |
−k
|
1
|
1 |
i |
j |
k |
−1 |
−i |
−j |
−k
|
i
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i |
−1 |
k |
−j |
−i |
1 |
−k |
j
|
j
|
j |
−k |
−1 |
i |
−j |
k |
1 |
−i
|
k
|
k |
j |
−i |
−1 |
−k |
−j |
i |
1
|
−1
|
−1 |
−i |
−j |
−k |
1 |
i |
j |
k
|
−i
|
−i |
1 |
−k |
j |
i |
−1 |
k |
−j
|
−j
|
−j |
k |
1 |
−i |
j |
−k |
−1 |
i
|
−k
|
−k |
−j |
i |
1 |
k |
j |
−i |
−1
|
需要特别留意,这个群不是交换群,例如
。
有着汉弥尔顿群较不常见的性质:每一个
的子群都是其正规子群,但这个群不是交换的。每一个汉弥尔顿群都会含有一个或多个
。
在抽象代数里,可以造出一个其基底为
的四维实向量空间,并使用上面的乘法表和分配律来形成一个结合代数,称为一个四元数的除环。需要注意的是,这不是在
上的群代数(其应该是8维的)。相反地,也可以先由四元数开始,再“定义”出由八个元素
所组成之乘法子群作为四元群。
都是
中阶为4的元素,任意选择其中两个就可以生成出整个群。
有着下列的展现 (presentation):
![{\displaystyle \langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},yxy^{-1}=x^{-1}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a90d268d770e870780fd3158e75fb6ef8c25c3c)
其中可以取
、
及
。
的中心及交换子群为
。其商群
同构于克莱因四元群 (Klein four-group)
。而
的内自同构群 (Inner Automorphism Group) 同构于
同余其中心,且因此也会同构于克莱因四元群。
的自同构群会同构于对称群
。
的外自同构群因此为
。
四元群
亦可视为是作用于在有限体
上之二维向量空间的八个非零元素。关于其图像,请见图像化GL(2,p)(页面存档备份,存于互联网档案馆)。
一个群若被称为广义四元群,则表示其有一个展现
![{\displaystyle \langle x,y\mid x^{2^{n-1}}=1,x^{2^{n-2}}=y^{2},yxy^{-1}=x^{-1}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600c6037b48d2eccbb12ec76a9e59f66dfec6002)
其中
为整数。这个群的阶为
。原本的四元群为
时的特例。广义四元群可以被理解为单位四元数的子群,其生成元 (generator) 为
![{\displaystyle x=e^{2\pi i/2^{n-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00866223eaf33beb03a7ccd7d7526aee97b9e630)
![{\displaystyle y=j\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a1a072a01b4c10283318f936f3ecd9e9b18128)
广义四元群是双循环群此一更大类型的一类。广义四元群有着每个交换子群都是循环群的性质。可证明一具有此性质(每个交换子群都是循环群)的有限p-群若不是循环群就是广义四元群。