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向量组的秩

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定义

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一般定义

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向量组的秩即为向量组中的任一最大线性无关组所含有的向量个数.

维数定义

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在向量空间n中任意向量组构成的集合(可能是无限的),那么该与该向量组对应的向量子空间的维数那么这个就叫该向量组的秩.

举例

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举例来说,设有一向量组,若存在r个向量,且r个向量为向量组最大线性无关组,则此最大线性无关组的向量个数r,即为向量组的秩.

假设矩阵A的列秩为r,记矩阵A的列向量为,于是能找到r个线性无关的列向量,使得等式只有零解.另一方面,可知此线性方程组只有零解当且仅当它的行向量组的秩.于是能在此线性方程组的系数矩阵中找到r个线性无关的行向量.注意到这些行向量是由矩阵A的行向量缩短得到的.给这些行向量增加若干个分量,我们就得到矩阵A的r个线性无关的行向量.因此矩阵A的行秩必然列秩.同样可证矩阵A的列秩行秩.所以行秩等于列秩.记之为矩阵的秩.