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向量空间的维数定理

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数学分支线性代数中,向量空间的维数定理表明,向量空间的任意一组,都具有相同数量的元素。基的大小可能有限,也可能无穷(此时其大小为基数)。基的大小定义为向量空间的维数[1]

形式上,向量空间的维数定理指出:

V为向量空间,为两组基,则两者等势,即元素个数

由于基是线性独立生成集,上述定理可由以下定理推出:

在一个向量空间V中,如果G是生成集,I是线性独立集,那么I的基数不大于G的基数。

特别地,如果V有限生成,则每一组皆为有限,并且具有相同数量的元素[2]。在一般情况下,证明“任何向量空间都包含一组基”需要佐恩引理,并且实际上等价于选择公理[来源请求],但证明“基的大小唯一”只需要布尔素理想定理[3]

参考资料

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  1. ^ Lang, Serge. Algebra. GTM 211 Revised Third Edition. Springer. 2002: 140–141. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0 (英语). 
  2. ^ Howard, P., Rubin, J.: "Consequences of the axiom of choice" - Mathematical Surveys and Monographs, vol 59 (1998) ISSN 0076-5376.
  3. ^ Halpern, James D. Bases in vector spaces and the axiom of choice. Proceedings of the American Mathematical Society. 1966, 17: 670–673 [2023-03-24]. JSTOR 2035388. MR 0194340. doi:10.2307/2035388. (原始内容存档于2023-04-11) (英语).