椭圆的半长轴 (a) 和半短轴 (b)。
半长轴是几何学中的名词,用来描述椭圆和双曲线的维度。与之对应的就是长轴,半长轴为长轴的一半,一般描述椭圆的最长的直径。
椭圆的方程式是:
![{\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60608b4a2a8c795ba807697cbfe30e915d11ee26)
其中(h, k)是笛卡尔坐标系中椭圆的中心,其中任意点由(x, y)给出。
半长轴是椭圆距焦点的最大和最小距离
和
的平均值— 即从焦点到长轴端点的距离
![{\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ed6d4463383abe7efce16fb5c47d837ef8ac5e)
在天文学中,这些极值点称为拱点。
一个椭圆的长轴是内部最长的直径,会通过中心和两个焦点,末端结束于椭圆曲线最宽处。半长轴是长轴的一半,始于中心点经过一个焦点并终结于椭圆的边界。在特殊状况a=b中,半长轴就是半径。
半长轴的长度
与半短轴
的关系可以经由离心率
和半正焦弦
推导如下:
![{\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2df1161094f67cbcccc0293220c8e5a9baf5891)
.
.
抛物线可以被视为是椭圆的极限,将一个焦点固定,而另一个焦点被随意的移至无穷远处的方向上,但
仍保持不变。因此
和
趋于无限大,
仍比
长。
半长轴是椭圆的一个焦点至边界的最大距离和最小距离的平均值。现在考虑在极座标中的方程式,其中一个焦点位于原点,另一个焦点在x轴上,
.
均值由
和
,是
.
双曲线的半长轴是两个分支之间距离的一半。如果a是在X-轴的方向上,则方程式可以表示为:
在这个项目中的半正焦弦和离心率如下:
双曲线的横轴延伸方向与半长轴的方向一致[1]。
某些太阳系轨道(十字表示开普勒值)的轨道周期 T 与半长轴 a(远日点和近日点的平均值)的双对数图,显示a3/T2是常数(绿线)
在太空动力学,以圆或椭圆轨道环绕中心天体运转的小天体的轨道周期
,是:
![{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f454d3ecae15ea7887c1f3f40b0b80b0d6f711af)
此处:
,是轨道的半长轴
是标准重力参数
无论离心率是如何,半长轴相同的椭圆都有相同的轨道周期。
在天文学,是轨道的轨道元素中最重要的,他决定了轨道周期。对太阳系内的天体,半长轴与轨道周期的关系由开普勒第三定律(原本只是经验公式)来描述:
,
此处T是周期,单位为年;a是半长轴,单位为AU。这个形式就是牛顿的二体问题简化后的形式:
,
此处G是重力常数,M是中心天体的质量,而m是轨道上天体的质量。通常,当中心天体的值量远大于环绕的天体时,m的质量可以忽略不计。座著这样的假设和简化之后,开普勒发现的以天文单位简化的形式就出现了。
值得注意的是,在轨道上的天体和主要的天体环绕着质心运动的路径都是椭圆形。在天文学上的半长径总是主、伴两星之间的距离,因此行星的轨道参数都是以太阳为中心的项目。在"主体为中心"和"绝对"轨道之间的差别通过对地月系统的认是说明可以有更清楚的认识。质量的比是81.30059,地心的月球轨道半长轴是384,400公里;另一方面,"质心"的月球轨道半长轴是379,700公里,两著的差别是4,700公里。月球相对于质心的平均轨道速度是1.010公里/秒,地球是0.012公里/秒,两者之和是1.022公里/秒;同样的,以地心的半长轴得到的月球轨道速度也是1.022公里/秒。
经常会说半长轴是主伴两天体的平均距离,其实这样说是不够精确的,这与如何取得平均值有关。
- 对偏近点角(q.v.)的平均距离的确就是半长轴。
- 对真近点角(从焦点上测量的真实轨道角度)的结果,说也奇怪,是轨道半短轴:
。
- 最后,是对平近点角(以角度表示,经过近心点之后所经历轨道周期的分数),是对时间的平均数(通常是对门外汉所谓的"平均"):
。
椭圆的平均半径,是以几何上的中心来测量的,其值为
。
时间的平均值与半径成反比,
,是
。
在太空动力学半长轴
,可以从轨道状态向量得到:
(椭圆轨道)
(双曲线弹道)
(特殊轨道能量)
(标准重力参数)
此处:
,是从速度向量得到的轨道上物体的轨道速度,
,是在笛卡尔坐标系上、相对于位置向量用于计算的轨道元素(即,对环绕地球的物体是以地球中心和赤道为基准,或对环绕太阳的天体是以太阳中心和黄道为基准),
,是重力常数,
,是中心天体的质量。
对特定的中心天体和总比能,无论离心率是多少,半长轴是一个定值。换言之,对特定的一个中心天体和半长轴,具有的总比能是一个定值。
国际太空站的轨道周期是91.74分,它的轨道半长轴是6,738公里。