圆锥曲线
圆锥曲线(英语:conic section),又称圆锥截痕、圆锥截面、二次平面曲线,是数学、几何学中透过平切圆锥(严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切)得到的曲线,包括圆,椭圆,抛物线,双曲线及一些退化类型。
圆锥曲线在约公元前200年时就已被命名与研究,其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯,当时阿波罗尼阿斯已对它们的性质做过系统性的研究。
圆锥曲线应用最广泛的定义为(椭圆,抛物线,双曲线的统一定义):动点到一定点(焦点)的距离与其到一定直线(准线)的距离之比为常数(离心率
)的点的集合是圆锥曲线。对于
得到椭圆,对于
得到抛物线,对于
得到双曲线。
有同一焦点
和同一准线
的:椭圆(
=1/2)、抛物线(
=1)、双曲线(
=2)。
设
为定点,
为定直线,
为正常数,称满足
的动点
的轨迹为圆锥曲线。
其中
为其焦点,
为准线,
为离心率。
由此可知,圆锥曲线的极坐标参数方程为
或
(正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起)。
其中
为
与极轴的夹角,
为定直线
,即准线到焦点的距离。
将参数方程转换成直角坐标方程易得,
- 当
时,曲线为抛物线。
- 当
时,
- 当
时,曲线为椭圆。
- 当
时,曲线为双曲线。
圆锥曲线
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方程
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离心率(e)
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半焦距(c)
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半正焦弦(ℓ)
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焦点准线距离(p)
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圆
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椭圆
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抛物线
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双曲线
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圆锥曲线的类型:1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线
椭圆,圆:当平面只与圆锥面一侧相交,交截线是闭合曲线的时候,且不过圆锥顶点,结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直,结果为圆。
抛物线:截面仅与圆锥面的一条母线平行,结果为抛物线。
双曲线:截面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线。
在平面通过圆锥的顶点的时候,有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。
椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长(2a)。
抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长(2a)。
有固定焦点F和准线的圆(e=0) 、椭圆(e=1/2)、抛物线 (e=1)和双曲线(e=2)。
对于椭圆和双曲线,可以采用两种焦点-准线组合,每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是
,这里的
是椭圆的半长轴,或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是
。
在圆的情况下,
且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。
圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。
对于一个给定的
,
越接近于1,半短轴就越小。
在笛卡尔坐标系内,二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线,并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式
![{\displaystyle Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6b6f9b69bbaf1b2ea02e1fad7bfb518a7ee9610)
- 此处参数
,
和
不得皆等于
。
上述方程可以使用矩阵表示为[1]
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+F=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07ad21e6efb02bb3ebd9551f967e1b6e7d326f59)
亦可以写作
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69f6b1ee2f4d7f828fb8c7e89c4e60536c2a14e)
这是在射影几何中使用的齐次形式的一个特例。 (参见齐次坐标)
下文中记
,记
。
借由
,我们可以判定圆锥曲线是否退化。
- 若
,则圆锥曲线
退化。
- 若
,则圆锥曲线
未退化。
若圆锥曲线未发生退化,则[2]
- 若
, 方程表示一个椭圆;
- 对于椭圆,当
时,
为一个实椭圆;当
时
为一个虚椭圆。(例如,
没有任何实值解,是一个虚椭圆)
- 特别的,若
,
且
,作为椭圆的特殊情况,
表示一个圆。
- 若
,
表示一条抛物线;
- 若
,
表示一条双曲线;
- 若
,
表示一条直角双曲线。
若圆锥曲线发生退化,则
- 若
,作为椭圆的退化,
为一个点。
- 若
,作为抛物线的退化,
为两条平行直线。
- 若
,
为两条不重合的平行直线。
- 若
,
为两条重合的平行直线。(特别的,此时
的秩为1)
- 若
,
直线不存在与实平面中。
- 若
,作为双曲线的退化,
为两条相交直线。(同时,也是双曲线的渐近线)
在此处的表达中,
和
为多项式系数,而非半长轴
和半短轴
。
矩阵
、
的行列式,以及
(
的迹)在任意的旋转和座标轴的交换中保持不变。[2][3][4] [5]:60–62页 常数项
以及
仅在旋转中保持不变。[5]:60–62页
的离心率可被写作关于
系数的函数。[6] 若
,
为 抛物线,其离心率为1。其它情况下,假设
表达一个未退化的椭圆或双曲线,那么
![{\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7243bc5d4717aaf1723f4046ea15c1f83a943b32)
此处若
为负则
;若
为正则
。
此外,离心率
也是下述方程的一个正根[5]:89页
![{\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e931a43eb1ce78665d9b5a8cc90186b0db821d44)
此处
。对于椭圆或抛物线,该方程只有一个正根,即其离心率;对于双曲线,其有两个正根,其中的一个为其离心率。
对于椭圆或双曲线,
可用变换后的变量
表示为如下所示的标准形式[7]
![{\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08e2e09ed68d115dfce16ca4a09b415b84b44de)
或等价的
![{\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}\Delta }}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{2}\Delta }}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb978e6bca51a40f444ed8f247afe563cfb55910)
此处,
和
为
的特征值,也即下述方程的两根:
![{\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b270ea486eeb7d3fa983832d4f16abe9824ff6)
同时,
,
。
透过座标变换,各种类型的圆锥曲线都可以表示为其标准形式:
方程式 |
圆 |
椭圆 |
抛物线 |
双曲线
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标准方程式
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参数方程式
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或
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椭圆的半正焦弦
圆锥曲线的半正焦弦(semi-latus rectum)通常指示为
,是从单一焦点或两个焦点中的一个,到圆锥曲线自身的,沿着垂直于主轴(长轴)的直线度量的距离。它有关于半长轴
,和半短轴
,通过公式
或
。
在极坐标系中,圆锥曲线有一个焦点在原点,如果有另一个焦点的话它在正x轴上,给出自方程
,
或者,
,
如上,对于
得到一个圆,对于
得到椭圆,对于
得到抛物线,对于
得到双曲线。
在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为:
![{\displaystyle A_{1}x^{2}+A_{2}y^{2}+A_{3}z^{2}+2B_{1}xy+2B_{2}xz+2B_{3}yz=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7218443125faeedc8c2d19adf5b40a1925900d2c)
或表示为矩阵:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eba231d107cb0dd8e1101d43c75714cad66e8e9)
矩阵
叫做“圆锥曲线矩阵”。
叫做圆锥曲线的行列式。如果
则这个圆锥曲线被称为退化的,这意味着圆锥曲线是两个直线的联合(两相交直线,两平行直线或两重合直线)或一点。。
例如,圆锥曲线
退化为两相交直线:
。
类似的,圆锥曲线有时退化为两重合直线(两直线重合成一条):
。
被称为圆锥曲线的判别式。如果
则圆锥曲线是抛物线,如果
则是双曲线,如果
则是椭圆。如果
且
,圆锥曲线是圆;如果
且
,它是直角双曲线。可以证明在复射影平面
中,两个圆锥曲线共有四个点(如果考虑重根),所以永不多于4个交点并总有1个交点(可能性:4个不同的交点,2个单一交点和1个双重交点,2个双重交点,1单一交点和1个三重交点,1个四重交点)。如果存在至少一个重根
的交点,则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点,两个圆锥曲线被称为是共振的。
进一步的,每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点,则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次,每个圆锥曲线有两个点在无穷远(与无穷远线的交点)。如果这些点是实数的,圆锥曲线必定是双曲线;如果它们是虚共轭,圆锥曲线必定是椭圆,如果圆锥曲线有双重点在无穷远,则它是抛物线。如果在无穷远的点是
和
,则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远,或它有两个不共轭的虚数点,它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。
- ^ Brannan, Esplen & Gray 1999,第30页 harvnb error: no target: CITEREFBrannanEsplenGray1999 (help)
- ^ 2.0 2.1 Protter & Morrey 1970,第326页 harvnb error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (help)
- ^ Wilson & Tracey 1925,第153页 harvnb error: no target: CITEREFWilsonTracey1925 (help)
- ^ Pettofrezzo, Anthony, Matrices and Transformations, Dover Publ., 1966, p. 110.
- ^ 5.0 5.1 5.2 Spain, Barry, Analytical Conics, Dover, 2007 (originally published 1957 by Pergamon Press).
- ^ Ayoub, Ayoub B., "The eccentricity of a conic section," The College Mathematics Journal 34(2), March 2003, 116–121.
- ^ Ayoub, A. B., "The central conic sections revisited", Mathematics Magazine 66(5), 1993, 322–325.