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全纯域

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定义中的集合

在数学的多复变函数论中,全纯域是在下述意义下为极大的区域:在其上存在一个全纯函数,使得不能延拓至更大的区域上。

正式而言,在n维复空间中的开集称为全纯域,如果不存在非空开集,其中连通的, ,以及,使得对在上的每个全纯函数,存在一个在上的全纯函数,在上有

n = 1时,每个开集都是全纯域。但是,当n ≥ 2时,哈托格斯引理英语Hartogs lemma指出存在不是全纯域的区域。

等价条件

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对一个区域以下条件等价:

  1. 是全纯域。
  2. 全纯凸英语holomorphically convex的。
  3. 伪凸英语pseudoconvex的。
  4. 莱维凸——对每个解析紧曲面列,使得对某集合,我们有 不能用一个解析曲面列“从里面触碰”。)
  5. 局部莱维性质——对每个点,存在的邻域,及在上全纯的,使得不能延拓到的任何邻域上。

其中关系是标准结果。(冈引理。)主要的困难在证明,即从只是局部定义的不可延拓函数,构造一个不可延拓的全局全纯函数。这个问题称为莱维问题英语Levi problem,以Eugenio Elia Levi英语Eugenio Elia Levi命名。最先解出问题的是冈洁,之后是拉尔斯·霍尔曼德尔,用的方法包括泛函分析和偏微分方程(问题的一个结果)。

性质

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  • 是全纯域,则其交也是全纯域。
  • 是全纯域的上升列,则其并也是全纯域。(见本克-施泰因定理英语Behnke-Stein theorem
  • 两个全纯域的积是全纯域。
  • 第一库赞问题英语Cousin problems在全纯域内可解;若再加上一些拓扑假设,第二库赞问题也可解。

参见

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参考

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  • Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
  • Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis, AMS, 1992