中心化子和正规化子

群论中，一个群 $G$ 的子集 $S$ 的中心化子（英语：Centralizer）$C_{G}(S)$ 是 $G$ 中与所有 $S$ 的元素满足交换律的元素组成的集合； $S$ 的正规化子（英语：Normalizer） $N_{G}(S)$ 是 $G$ 中使 $S$ 关于 $g$ 的共轭类等于 $S$ 的元素 $g$ 组成的集合，此条件较上述中心化子的条件弱。

中心化子和正规化子都是 $G$ 的子群。它们分别给出对 $S$ 的元素和 $S$ 整体的限制。对某些子集 $S$ ，这些子群能够给出关于群 $G$ 结构的信息。

定义

中心化子

令 $G$ 为一个群， $S$ 为 $G$ 的一个子集，我们定义一个由 $G$ 中与每一个 $S$ 的元素 $s$ 可交换的元素组成的集合，记做 $C_{G}(S)$；换言之，

$C_{G}(S)=\{x\in G\mid \forall s\in S,xs=sx\}$。

若 $H$ 为 $G$ 的子群且 $S\subseteq H$ ，则 $C_{H}(S)=C_{G}(S)\cap H$。

特别的，当 $S$ 为单元素集合 $S=\{a\}$ 时，我们会将其中心化子简写为 $C_{G}(S)=C_{G}(a)$。

群的中心

群 $G$ 的中心是 $C_{G}(G)$ ，通常记作 $Z(G)$ 。一个群的中心既是正规子群也是交换群，而且有很多其它重要属性。我们可以将 $a$ 的中心化子视作 $G$ 中最大（用包含关系作为比较大小的依据）的子群 $H$ ，使得 $a$ 属于其中心 $Z(H)$ 。

正规化子

$S$ 在 $G$ 中的正规化子记作 $N_{G}(S)$ 或 $N(S)$ 。正规化子定义为 $N(S)=\{x\in G\mid xS=Sx\}$ 。同样的是， $N(S)$ 是 $G$ 的子群。

正规化子得名于 $N(S)$ 是 $G$ 中包含由 $\langle S\rangle$ 且 $\langle S\rangle$ 为正规子群的最大子群，其中 $\langle S\rangle$ 是由 $S$ 生成的子群。

包括 $\langle S\rangle$ 且 $\langle S\rangle$ 为其正规子群的最小的 $G$ 的子群称为共轭闭包。

如果 $N_{G}(H)=H$ ，则子群 $H$ 称为 $G$ 的自正规化子群。

性质

若 $G$ 是交换群，则任何 $G$ 的子集的中心化子和正规化子都包含 $G$ 所有的元素；特别地，一个群可交换，当且仅当 $Z(G)=G$ 。

若 $a$ 和 $b$ 是 $G$ 的任意元素，则 $a$ 在 $C_{G}(b)$ 中当且仅当 $b$ 在 $C_{G}(a)$ 中，这又亦等价于 $a$ 和 $b$ 可交换（ $ab=ba$ ）。

若 $S$ 为单元素集合 $S=\{a\}$ ，则 $N_{G}(S)=C_{G}(S)=C_{G}(a)$。

$C_{G}(S)$ 总是 $N_{G}(S)$ 的正规子群：若 $c$ 属于 $C_{G}(S)$ 而 $n$ 属于 $N_{G}(S)$ ，我们需要证明 $n^{-1}cn$ 属于 $C_{G}(S)$ 。 为此，取 $s$ 属于 $S$ 并令 $t=nsn^{-1}$ 。则 $t$ 属于 $S$ ，所以 $ct=tc$ 。注意到 $ns=tn$ ；以及 $n^{-1}t=sn^{-1}$ 。我们有

$(n^{-1}cn)s=(n^{-1}c)tn=n^{-1}(tc)n=(sn^{-1})cn=s(n^{-1}cn)$

这也就是要证明的命题。

若H是G的子群，则N/C定理表明因子群N(H)/C(H)同构于Aut(H)（H的自同构群）的子群。

因为N_G(G) = G，N/C定理也意味着G/Z(G)同构于Inn(G)（由所有G的内自同构组成的Aut(G)的子群）。

如果我们通过T(x)(g) = T_x(g) = xgx ⁻¹定义群同态 T : G → Inn(G)，则我们可以用Inn("G")在G上的群作用来表述N(S)和C(S)：S在Inn(G)中的定点子群就是T(N(S))，而Inn(G)中固定S的子群就是T（C(S)）。

共轭类方程

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若 $G$ 为有限群，考虑 $S$ 共轭到自身的群作用，并应用轨道-稳定点定理，

G的核为$|\ker \rho |=|Z(G)|$

G的轨道为$|G\cdot x_{i}|=|G:C_{G}(x_{i})|$

类方程：

$|G|=|Z(G)|+\sum _{i}|G:C_{G}(x_{i})|$