格奥尔格·康托尔

格奥尔格·康托尔 Georg Cantor
出生	Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-03-03)1845年3月3日 俄罗斯帝国圣彼得堡
逝世	1918年1月6日(1918岁—01—06)（72岁） 德意志帝国萨克森省萨勒河畔哈勒
居住地	俄罗斯帝国（1845年－1856年） 德意志帝国（1856年－1918年）
国籍	德国
母校	瑞士联邦理工学院 柏林大学
知名于	集合论
配偶	Vally Guttmann（1874年结婚）
奖项	西尔维斯特奖章（1904年）
科学生涯
研究领域	数学
机构	哈勒大学
论文	De aequationibus secundi gradus indeterminatis（1867）
博士导师	恩斯特·库默尔 卡尔·魏尔施特拉斯

格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔（德语：Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，1845年3月3日—1918年1月6日），出生于俄国的德国数学家（波罗的海德国人）。他创立了现代集合论，是实数系以至整个微积分理论体系的基础，还提出了势和良序概念的定义；康托尔确定了在两个集合中的成员，其间一对一关系的重要性，定义了无限且有序的集合，并证明了实数比自然数更多。康托尔对这个定理所使用的证明方法，事实上暗示了“无限的无穷” 的存在。他定义了基数和序数及其算术。康托尔很清楚地自知自觉他的成果，富有极浓厚的哲学兴趣。康托尔提出的超越数，最初被当时数学界同侪认为如此反直觉-甚至令人震惊-因而拒绝接受他的理论，且以利奥波德·克罗内克为首的众多数学家长期攻击。克罗内克反对代数数为可数的，而超越数为不可数的证明。

康托尔本身是一位虔诚的路德派，相信这个理论是经由上帝传达给他；但一些基督教神学家认为康托尔的理论，是在挑战神学中只有上帝才具有绝对而唯一的无限性质。康托尔自 1869年任职于德国哈勒大学直到 1918年在哈勒大学附属精神病院逝世；他的抑郁症一直再发的病因，被归咎于当代学界的敌对态度，尽管有人将这些事件解释为，是他本人所患有的情感双极障碍的病征。他所受到的严厉攻击，与后来的赞誉相匹配：在 1904年伦敦皇家学会授予他西尔维斯特奖章，这是皇家学会可授予数学研究者的最高荣誉。

在康托尔死后数十年，维特根斯坦撰文哀悼昔时学术界指责“集合论是假借通过数学而有害处的方言”的氛围，他认为那是“可笑”和“错误”的“完全无稽之谈”。当代数学家绝大多数接受康托尔的理论，并认为这是数学史上一次重要的变革。大卫·希尔伯特说：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。”（原文另译：我们屏息敬畏地自知在康托所铺展的天堂里，不会遭逢被驱逐出境的。）

生平

青年时期

1870年左右的康托尔

康托尔1845年出生于俄国圣彼得堡的商人殖民地，并在城里生活直到他十一岁，他父亲是丹麦商人，母亲是俄国音乐家。他是六个孩子中最年长的一个，被认为是一位杰出的小提琴手。他的祖父弗兰兹伯姆（Franz Böhm, 1788-1846，小提琴家约瑟夫·伯姆的兄弟）是俄罗斯帝国管弦乐团的著名音乐家和独奏家。康托尔的父亲曾是圣彼得堡证券交易所的成员；当他生病时，为了寻求比圣彼得堡更温和的冬天，于 1856年他们全家先迁移到了德国的威斯巴登，然后到了法兰克福。1860年康托尔从达姆施塔特的Realschule区中学毕业；他在数学方面的学业成绩优异，尤其是三角学。1862年康托尔进入瑞士联邦理工学院。在1863年6月他父亲去世后，他继承了丰厚的财产；康托尔将他的学业转移到柏林大学，研习卡尔·魏尔施特拉斯、利奥波德·克罗内克和恩斯特·库默尔的课程。1866年夏天他在哥廷根大学度过了一段时间。格奥尔格·康托尔是一个好学生，在 1867年于柏林大学获得了博士学位。

任教及研究生涯

康托尔于1867年在柏林大学提交了关于数论的论文。在柏林女子学校短暂讲授后，康托尔在哈勒大学任职并在那度过了他整个的职业生涯，在 1869年他任职时所提出的数论论文，因而取得了特许任教资格。1874年康托尔与 Vally Guttmann结婚，在他们度过哈尔茨山脉的蜜月期间，康托尔花了很多时间与理查德·戴德金讨论数学，两人结识是因他两年前的瑞士度假时而遇到戴德金。他们育有六个孩子，1886年出生的鲁道夫是他们最小的孩子。尽管他任教职的薪酬很低，但康托尔能负担这人口众多的家庭生计支出，要归功于他父亲的优渥遗产。康托尔在 1872年升任副教授，并在他三十四岁时(1879年)就成为教授，是一个显著的功名；但康托尔希望在德国柏林更有声望的领先大学中，担任主席；然而他的研究工作成果遭遇了太多的反对，每当康托尔在柏林申请更高阶的职位，他都被拒绝了。通常是因当时克罗内克有异议的关系，使其所望难以实现。所以康托尔相信因为克罗内克的反对立场，会让他无法离开哈勒。1881年康托尔的同事爱德华海涅去世，产生了一个主席空缺。哈勒大学采纳康托尔的提议，将主席此一职位依序提供给戴德金、安里西·韦伯或是弗朗茨·梅滕斯 这三位，但他们全都拒绝了；这个职位最终任命给 Friedrich Heinrich Albert Wangerin，但他从来没有接近过康托尔。1882年康托尔和戴德金之间通信联系的数学关系告一段落，显然是由于戴德金拒绝了哈勒大学的主席一职。

在 1884年5月康托尔遭受了自身抑郁症的第一次发作。对他工作的批评让他头脑昏沉：他在 1884年写给 米塔·列夫勒 的52封信，每封信中都提到克罗内克，其中一段内文揭漏了他自信心所受到的残害：

......我不知道何时会回到岗位上继续我的研究。此刻我无能为力，并将我自己限制在论文中最必要的责任上；如果我心智精神能有新鲜的感觉，我能比较快乐地参与学界的活动。

此后康托尔康复，随后作出了进一步的重要贡献，包括他的对角论证和定理。1889年康托尔成立了德国数学学会，并于 1891年在哈勒大学主持了首次会议，在那里他首先介绍了他发明的对角线论证法；尽管克罗内克反对他的工作，但此时他的声誉已足够强大到确保当选，为这个学术社群的第一任主席。他最终撇开了克罗内克对他的敌意，并寻求与克罗内克的和解，康托尔邀请他在会上发言，但克罗内克却因为妻子因当时的滑雪事故中死亡而无法出席。而即使克罗内克在 1891年 12月 29日去世之后，康托尔也再达不到其于 1874-84年发表论文的卓越水准。分裂它们的哲学分歧和困难依旧存在。康托尔在 1897年在瑞士苏黎世举行的第一届国际数学家大会中也发挥了重要作用。

晚年时期

康托尔的后半生受到精神疾病的严重影响工作，他不得不经常入院治疗。根据后来他发表的论文推测，他患的可能是躁郁症。他曾写了一篇验证1000以下的歌德巴赫猜想的论文，其实几十年前已经有人验证到了10000。他又发表了几篇文学方面的论文，试图证明弗兰西斯·培根其实是莎士比亚作品的真正作者。以及神学方面的论文，企图证明绝对无限即是上帝。第一次世界大战期间，他陷于赤贫状态，最后死于哈雷大学的精神病院。

数学领域上的成就

康托尔在 1874至1884 这十年间的研究成果，是集合论的起源。在此之前追溯已往到亚里士多德时代，数学领域中的集合，从最初就隐含地使用了相当原始的集合概念。没有人意识到集合这个概念中，有任何未深入研讨的内容。在康托尔之前的集合概念，只区分为一般人直觉上容易理解的有限集合，而所谓的“无穷”集合被认为是哲学而非数学研讨的命题。康托尔证明无穷集合存在着许多可能的大小，而扩展了数学领域中对于集合概念，其真实涵义的研讨。

集合论已经发挥了现代数学基础理论的作用，因为它明确定义并解释了，几乎所有的传统数学领域（如代数，分析和拓扑）中的数学对象（例如数系和函数）的命题；根据康托尔所建立起的这一套集合理论，提供了标准的公理来证明或反证它们。因此集合论的基本概念，现在被应用在整个数学领域中。在他最早的一篇论文中，康托尔证明了实数系集合和自然数集合，在大小比较上实数系要“多更多了”；这首次表明即使两个元素都是无穷的集合，在大小上仍然会存在有不同的组合；他也是第一个理解集合论中的一对一对应关系（以下称为“一一对应关系”）的重要性的人。他用这种概念来定义有限和无穷集合，将后者再区分为可数的（或可数无穷）以及 非可数的无穷集合。

康托尔发展了拓扑中的重要概念，其与基数的关系。例如，他表明康托尔集不是密集的，而与实数系集合一样具有相同的基数，而有理数的集合是密集而且可数的。他还表明了线性稠密可数的、而没有终点的序，和有理数集合是同构的。康托尔介绍了集合论的基本结构，如$A$集合的幂集，是对于$A$集合其中所有元素，各种组合而构成的一个子集。他后来证明了即使 $A$属于无穷集合， $A$的幂集大小，也将会是严格大于 $A$的大小，这个结果很快就被称为康托尔定理。康托尔发展了整套的集合论和无穷集合的算术，称为基数和序数，它扩充了自然数的算术。他对基数的标记符号是希伯来文 $\aleph$与自然数下标；对于标示序的符号他采用了希腊字母 ω。这个符号表示法目前数学界仍在使用。

康托尔的连续统假说是 1900年巴黎数学家国际会议，大卫·希尔伯特提出23个尚无证明命题的第一个。康托尔的研究成果也吸引了其它人的关注。美国哲学家皮尔士赞扬他的集合论；而在 1897年苏黎世举行的第一届国际数学家会，康托尔发表的公开讲座之后，Hurwitz 和阿达马也都表示了钦佩。在那次大会上康托尔重新与戴德金交换了友谊和信件。自 1905年起康托尔与英国翻译家菲利普朱尔丹就集合论的历史，和康托尔的宗教思想，进行了对谈，这些对谈后来集成出版为康托尔的讲述作品。

数论，三角级数和序数

康托尔的前十篇论文题目是关于数论。在哈勒大学教授爱德华海涅的建议下，康托转向分析。海涅提出了困惑著约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷、鲁道夫·利普希茨、波恩哈德·黎曼和海涅自己的问题：如何呈现三角级数的建构函数的唯一性质？康托尔在 1869年解决了这个难题，而在研究这个三角级数唯一定理的时候，他发现了超限序数，出现在对于三角级数的集合S，其下标为n的第n个索引的导出集合 S_n之中。

1870 至 1872年之间康托尔发表了更多关于三角函数的论文，并且还将无理数定义为有理数的收敛序列。戴德金引用了这篇论文，并在他的论文中首次提出了戴德金切割的实数定义。即使康托尔革命性地以无限基数的概念来扩大集合概念的同时，他却自相矛盾地反对同期数学分析学者 Otto Stolz 和 Paul du Bois-Reymond 的无限小理论；康托尔还发表了一个错误的“证明”，试图证明无穷小量的不一致性。

集合论

一个使用对角论证法证明不可数集存在性的例子。 底部的序列并不包含在上面的无穷个序列中。

一一对应和对角线证明方法

康托尔提出了通过一一对应的方法对无限集合的大小进行比较，并将能够彼此建立一一对应的集合称为等势，即可以被认为是“一样大”的。他引入了可数无穷的概念，用来指与自然数集合等势的集合，并证明了有理数集合是可数无穷，而实数集合不是可数无穷，这表明无穷集合的确存在着不同的大小，他称与实数等势（从而不是可数无穷）的集合为不可数无穷。原始证明发表于 1874年，这个证明使用了较为复杂的归纳反证法。1891年他用对角线法重新证明了这个定理。另外，他证明了代数数集合是可数集，以及 $n$维空间与一维空间之间存在一一对应。在上述理论的基础上，康托尔又系统地研究了序数理论，提出了良序定理，即可以给任何集合内的所有元素定义一个大小关系，使得任意两个元素都可以比较大小，且该集合的任意子集都有最小元素。

连续统假设

参见：连续统假设

康托尔晚年致力于证明他自己提出的连续统假设，即任意实数的无穷集合或者是可数无穷或者是不可数无穷，二者必居其一，但没有成功。

参见

• 朴素集合论
• 康托尔集合
• 康托尔定理
• 康托尔悖论
• 配对函数
• 良序定理