24点
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24点游戏(在香港也称“合廿四”)J、Q、和K去除,或当成10;还有一个版本是把J表示11,Q表示12,K代表13。
有些组合有多种算法,例如2,4,6,Q四张牌可用 2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4×6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4×(6 + 2) = 24等来求解。也有些组合算不出24,如1、1、1、1 和 6、7、8、8等组合。
较有难度的24点
[编辑]虽然大多数24点存在很多解法,有相当一部分数字组合只存在单一的解法。这种组合往往较有难度,也较为有趣。这里总结一些常见的组合。
分数或小数运算
[编辑]虽然给出4个数字都是整数,中间步骤中有时会出现分数或小数。这种4个数字的组合往往较有难度。一个经典的例子是1,5,5,5,其解答为5×(5 − 1 ÷ 5) = 24;另外 一个例子是3,3,8,8,其解答为8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24。因为后者用到了两次除法,其解法比较难以想到。另外一些类似的组合为:
数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 |
---|---|---|---|
2, 4, 10, 10 | (2 + 4 ÷ 10)×10 | 2, 5, 5, 10 | (5 − 2 ÷ 10)×5 |
2, 7, 7, 10 | (2 + 10 ÷ 7)×7 | 3, 3, 7, 7 | (3 + 3 ÷ 7)×7 |
4, 4, 7, 7 | (4 − 4 ÷ 7)×7 | 2, 2, 11, 11 | (2 + 2 ÷ 11)×11 |
2, 2, 13, 13 | (2 − 2 ÷ 13)×13 | 1, 3, 4, 6 | 6 ÷ (1 − 3 ÷ 4) |
2, 3, 5, 12 | 12 ÷ (3 − 5 ÷ 2) | 1, 8, 12, 12 | 12 ÷ (12 ÷ 8 - 1) |
大数/奇数运算
[编辑]大多数组合中,中间步骤只会涉及到一些较小的数字(≤32)。但是有些组合中会涉及到一些较大数字,这些组合通常较有难度。比如4、4、10、10的解法为(10×10 − 4) ÷ 4 = 24,5、6、6、9的解法为6×9 − 5×6 = 24。此外如果运算涉及到一些奇数的运算也会增加难度,比如6、9、9、10的解法为9×10 ÷ 6 + 9 = 24。一些例子如下:
数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 |
---|---|---|---|
1, 3, 9, 10 | (1 + 10)×3 − 9 | 7, 8, 8, 10 | 10×8 − 7×8 |
9, 11, 12, 12 | 11×12 − 9×12 | 1, 2, 7, 7 | (7×7 − 1) ÷ 2 |
3, 8, 8, 10 | (8×10 − 8) ÷ 3 | 4, 8, 8, 11 | (8×11 + 8) ÷ 4 |
5, 10, 10, 13 | (10×13 − 10) ÷ 5 | 1, 5, 11, 11 | (11×11 - 1) ÷ 5 |
1, 6, 11, 13 | (11×13 + 1) ÷ 6 | 1, 7, 13, 13 | (13×13 − 1) ÷ 7 |
计算复杂性排行
[编辑]下面 17 组是由计算机根据计算复杂性和结构找到的最难组合,完整的 566 组有解(多组解则取最简单的情况)情况如附录。
数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 | 数字组合 | 解法 |
---|---|---|---|---|---|
1,3,4,6 | (6/(1-(3/4))) | 1,2,7,7 | (((7*7)-1)/2) | 3,3,7,7 | (((3/7)+3)*7) |
1,4,5,6 | (4/(1-(5/6))) | 3,5,10,10 | (3*(10-(10/5))) | 2,7,7,10 | (((10/7)+2)*7) |
3,3,8,8 | (8/(3-(8/3))) | 3,8,8,10 | (((10*8)-8)/3) | 2,2,7,10 | (((10/2)+7)*2) |
1,6,6,8 | (6/(1-(6/8))) | 4,4,10,10 | (((10*10)-4)/4) | 3,3,6,6 | (3*((6/3)+6)) |
1,4,5,6 | (6/((5/4)-1)) | 1,5,5,5 | ((5-(1/5))*5) | 2,4,10,10 | (10*((4/10)+2)) |
2,5,5,10 | ((5-(2/10))*5) | ||||
4,4,7,7 | ((4-(4/7))*7) |
24点的组合数学
[编辑]其实独立的24点的个数并不多。如果每张牌面的数值被限制在1到K之间,独立的数字组合数由有重复的组合数给出:
- 。
譬如,如果最大的牌面数值为10,那么独立的数字组合为715个,远比10000要小;如果最大的牌面数值为13,那么独立的数字组合为1820个。这是因为其他的组合可以通过简单的数字交换得到。
可以用枚举证明,如果最大牌面数值为10,在715个组合中,有149个组合是没有解的。此外,如果我们随机的取4个1-10之间的数字,无解的概率为1442/10000大致为1/7。如果最大牌面数值为13,则会有458个组合无解(总数为1820)。
推广
[编辑]24点游戏可以被推广到多张牌(n>4)的情形。通常我们假定这n张牌是从一副牌中选出的,也就是说,每个数字至多出现4次。比如在5张牌、最大数值为10的情况下,有1992种不同的组合方式。其中无解的比例大大降低,一共为如下37种。如果最大数值为13,则无解的总数扩大为80。
1 1 1 1 2 | 1 1 1 1 3 | 1 1 1 1 4 | 1 1 1 1 5 | 1 1 1 2 2 | 1 1 1 2 3 |
1 1 1 9 9 | 1 1 1 9 10 | 1 1 1 10 10 | 1 1 2 2 2 | 1 1 6 7 7 | 1 1 7 7 7 |
1 1 9 9 9 | 1 1 9 9 10 | 1 1 10 10 10 | 1 5 9 9 9 | 1 6 7 7 7 | 1 7 7 7 7 |
1 7 9 9 9 | 1 8 9 9 10 | 1 8 9 10 10 | 1 9 9 9 9 | 1 9 9 9 10 | 1 9 9 10 10 |
1 9 10 10 10 | 1 10 10 10 10 | 2 9 9 9 9 | 3 5 5 5 5 | 4 9 9 9 9 | 6 7 7 7 7 |
6 10 10 10 10 | 8 9 9 9 10 | 8 9 9 10 10 | 9 9 9 9 10 | 9 9 9 10 10 | 9 9 10 10 10 |
9 10 10 10 10 |
注意到,以上罗列的情形中并没有5个相同数字的组合,比如,5个1,这是因为一副牌最多只有4个相同数字的牌。
在6张牌的情况下,4905种不同的组合方式中仅有3种组合是无解的:1 1 1 1 2 2,9 9 9 10 10 10 和9 9 10 10 10 10。在7张牌的情况下,所有组合方式(10890种)都有解。