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横轴为1, 2, 3, 4, ⋯,纵轴为相应于横轴的级数1 + 2 + 3 + 4 + ⋯之部分和。图中曲线为平滑后之渐近线,其与纵轴相交的截距值为−112

无穷级数1 + 2 + 3 + 4 + …为所有自然数的和,是一个发散级数,其数学式也写作

此级数前 n 项的部分和即是三角形数

尽管这个级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值,透过黎曼ζ函数正规化英语Zeta function regularization拉马努金求和等方法可产生一有限值 ,表示为:

此结果在复分析量子力学弦理论等领域中有所应用。

部分和公式的证明

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前六个三角形数
海什木(Alhazen)的正整数和公式推导

自然数从 1 加到 n 的和是 能用许多方法证明。首先令

我们将这些项重排反着写:

将两者相加,对应项相加,我们得到

ζ函数的求和与解析连续性

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s 的实部大于 1,s 次方的黎曼ζ函数等于求和 。当 s 的实部小于或等于 1 时和式发散,但当 s = −1 时 由 ζ(s) 的解析延拓给出 ζ(−1) 为

1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在,但拉马努金另外给其定义,其拉马努金求和的结果为 [1]

物理

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玻色弦理论中,我们想算出一个弦的可能的能量级,特别是最低能量级。非正式地说,每一个弦的谐波可以视为一组 无关量子谐振子,这里 是时空的维数。如果基本振子频率是 则一个振子对 级谐波的贡献是 。所以利用发散级数我们发现在所有谐波上求和是 。最后这确实是正确的,与Goddard–Thorn theorem英语no-ghost theorem一起,导致波色弦理论在维数不为 26 时是不一致的。

一个类似的计算是计算卡西米尔力

历史

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拉马努金写给戈弗雷·哈罗德·哈代的第二封信中(日期为1913年2月27日):

“亲爱的先生,我很感激地读到你1913年2月8日的信。我等待您的答复,类似于一个伦敦的数学教授写信要我仔细研究布罗米奇英语Thomas John l'Anson Bromwich的“无穷级数”而不要陷入发散级数的陷阱。……我告诉他,在我的理论中一个无穷数列 。如果我告诉你这个,你肯定会劝我进精神病收容院。我向你细说此事只是使你相信,如果我暗示我只在一封信中所写的行数,你不可能找出我证明的方法。”[2]

注释

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  1. ^ Hardy p.333
  2. ^ Berndt et al p.53. "Bromwich" 处链接为编辑所加并作了一些版式改动。

引用

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延伸阅读

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外部链接

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