密着拓扑
外观
(重定向自平庸拓扑)
在拓扑学中,带有密着拓扑(trivial topology)的拓扑空间是其中仅有的开集是空集和整个空间的空间。这种空间有时叫做不可分空间(indiscrete space),它的拓扑有时叫做不可分拓扑。在直觉上,这有着所有点都被“粘着在一起”而通过拓扑方式不可区分的推论。
定义
[编辑]密着拓扑是有最小可能数的开集的拓扑,因为拓扑的定义只要求两个集合是开集。尽管简单,带有多于一个元素的密着拓扑空间缺乏关键的性质:它不是T0空间。
性质
[编辑]不可分空间X的其他性质包括:
- 唯一的闭集是空集和X。
- X的唯一可能的基是{X}。
- 如果X有多于一个点,则由于它不是T0,它不满足任何更高的T公理。特别是,它不是豪斯多夫空间。不是豪斯多夫的,X就不是序拓扑,也不是可度量的。
- 但是X是正则空间、完全正则空间、正规空间和完全正规空间;尽管是在非常空洞意义上,因为仅有的闭集是∅和X。
- X是紧致空间因此是仿紧致空间、林德勒夫空间和局部紧致空间。
- 所有定义域是拓扑空间而陪域是X的函数都是连续函数。
- X是道路连通并因此是连通空间。
- X是第一可数空间、第二可数空间和可分离空间。
- 所有X的子空间都有密着拓扑。
- 所有X的商空间都有密着拓扑。
- 密着拓扑空间的任意乘积,带有要么乘积拓扑要么盒拓扑,都有密着拓扑。
- 所有X中的序列都收敛于X的所有点。特别是,所有序列都有收敛子序列(整个序列),因此是X是序列紧致。
- 所有集合除了X的内部都是空集。
- 所有X的非空子集的闭包都是X。在另一种方式下:所有X的非空子集都是稠密的,这个性质刻画了密着拓扑空间。
- 如果S是任何带有多于一个元素的X的子集,则所有X的元素都是S的极限点。如果S是单元素集合,则所有X \ S的点仍是S的极限点。
- X是Baire空间。
- 两个承载密着拓扑的拓扑空间是同胚的,当且仅当它们有相同的势。
在某种意义上,密着拓扑的对立者是离散拓扑,它的所有子集都是开集。
密着拓扑属于伪度量空间,在其中任何两点之间的距离是0,并属于一致空间,在其中全体笛卡尔乘积是X×X是仅有的周围。
设Top是带有连续映射的拓扑空间范畴,和Set是带有函数的集合范畴。如果F : Top → Set是指派每个拓扑空间到它的底层集合的函子(所谓的遗忘函子),并且G : Set → Top是把密着拓扑放置到给定集合上的函子,则G 右伴随于F。(把离散拓扑放置到给定集合上的函子H:Set → Top左伴随于F。)
引用
[编辑]- Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, (1978) Dover Publications, ISBN 0-486-68735-X. (See example 4)
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