幂零元
外观
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在抽象代数中,某个环R的一个元素x是一个幂零元,当存在一个正整数n,使得xn等于加法中的零元。
例子
[编辑]- 是一个幂零元,因为A3 = 0。
- 在商环Z/9Z中,同余类3是一个幂零元,因为32是同余类0。
- 如果在不交换的环R中,a,b满足ab=0。那么元素c=ba(如果非零的话)是一个幂零元,因为c2=(ba)2=b(ab)a=0。在矩阵中的一个例子是:
- 于是有
性质
[编辑]在一个非平凡的交换环中,幂零元不可能是乘法的可逆元。每个幂零元显然都是零因子。
在交换环中,所有的幂零元组成一个理想,称作这个环的诣零根。每个素理想都包含所有的幂零元,实际上,所有素理想的交集就是环的诣零根。
如果x是幂零元,那么1 − x就是一个可逆元,因为由xn = 0 可得
- (1 − x) (1 + x + x2 + ... + xn−1) = 1 − xn = 1。
更一般地,在满足交换律的情况下,可逆元与幂零元之和依然是一个可逆元。
参见
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