加法逆元（additive inverse）又称相反数（opposite）、反数，其定义是对于任意数 a {\displaystyle a} ，存在相反数满足其与 a {\displaystyle a} 的和为零（加法单位元）； a {\displaystyle a} 的加法逆元表示为 − a {\displaystyle -a} 。
在实数中，数 a {\displaystyle a} 的相反数 − a {\displaystyle -a} ，称为其加法逆元；相对地，数 a {\displaystyle a} 的倒数 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}} 或 a − 1 {\displaystyle a^{-1}} ，则称为其乘法逆元。
设“+”为一个交换性的二元运算，即对于所有 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , x + y = y + x {\displaystyle x+y=y+x} 。若该集合中存在一个元素 0 {\displaystyle 0} ，使得对于所有 x {\displaystyle x} , x + 0 = 0 + x = x {\displaystyle x+0=0+x=x} ，则此元素是唯一的。如果对于一个给定的 x {\displaystyle x} ，存在一个 x ′ {\displaystyle x'} 使得 x + x ′ = x ′ + x = 0 {\displaystyle x+x'=x'+x=0} ，则称 x ′ {\displaystyle x'} 是 x {\displaystyle x} 的加法逆元。
若“+”满足结合律，则任意数的加法逆元是唯一的。
反证法： 设 x {\displaystyle x} 有两个相异的加法逆元 x 1 {\displaystyle x_{1}} 、 x 2 {\displaystyle x_{2}} 有 x = x + 0 {\displaystyle x=x+0} 的关系。 ⇒ 0 = x + x 1 = x + x 2 {\displaystyle 0=x+x_{1}=x+x_{2}} ⇒ x 1 = x 2 {\displaystyle x_{1}=x_{2}} 产生矛盾，证讫。
