覆叠空间

在拓扑学中，拓扑空间 $X$ 的覆叠空间是一对资料 $(Y,p)$ ，其中 $Y$ 是拓扑空间， $p:Y\to X$ 是连续的满射，并存在 $X$ 的一组开覆盖

X=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}U

使得对每个 $U\in {\mathcal {U}}$ ，存在一个离散拓扑空间 $F$ 及同胚： $\phi _{U}:U\times F\simeq p^{-1}(U)$ ，而且 $p\circ \phi _{U}:U\times F\to U$ 是对第一个坐标的投影。

满足上述性质的 $p:Y\to X$ 称为覆叠映射。当 $X$ 连通时， $F$ 的基数是个常数，称为覆叠的次数或重数。

空间 $X$ 的覆叠构成一个范畴 $\mathbf {Cov} _{X}$ ，其对象形如 $p:Y\to X$ ，从 $p:Y\to X$ 到 $q:Z\to X$ 态射是连续映射 $f:Y\to Z$ ，且 $q\circ f=p$ 。

例子

考虑映射 $p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$ ， $p(x)=e^{2\pi ix}$ 。对任意 $s=e^{2\pi it}\in \mathbb {S} ^{1}$ ，取其开邻域

U:=\{e^{2\pi is}:|s-t|<{\frac {1}{2}}\}\simeq (-1/2,1/2)

f:(-1/2,1/2)\times \mathbb {Z} {\stackrel {\sim }{\to }}p^{-1}(U),\quad f(t,n)=t+n

由此可见 $p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$ 是覆叠映射。

莫比乌斯带的二重复叠空间是 $\mathbb {S} ^{1}\times [0,1]$ 。

性质

局部性质对于任何一个覆叠 $p:C\to X$ 都是一个局部同胚，这就是说，对任意的 $c\in C$ ，都存在一个在C中的开邻域U，和p(c)在X中的开邻域V，使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的，则在整体上也成立，并且覆叠p变为同胚。纤维上的同胚

万有覆叠空间

连通空间 $X$ 的万有覆叠空间（若其存在）是范畴 $\mathbf {Cov} _{X}$ 的初始对象 $u:{\tilde {X}}\to X$ ，换言之，对每个覆叠 $p:X'\to X$ ，存在唯一的连续映射 $f:{\tilde {X}}\to X'$ 使得 $p\circ f=u$ 。万有覆叠若存在则必唯一。之前的 $\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$ 便是一例。

若要求 $X$ 局部道路连通且局部单连通，则万有覆叠空间存在。这类空间的主要例子有流形和单纯复形。在同样前提下，覆叠 ${\tilde {X}}\to X$ 是万有覆叠的充要条件是基本群 $\pi _{1}({\tilde {X}},*)=\{e\}$ 。

正则覆叠及主丛

以下同样要求 $X$ 连通、局部道路连通且局部单连通。对于覆叠映射 $p:Y\to X$ ，选定 $x\in X$ 。在 $\mathbf {Cov} _{X}$ 中的自同构群 $\mathrm {Aut} (p)$ 在纤维 $p^{-1}(x)$ 上的作用是自由的（即： $\mathrm {Aut} (p)\to \mathrm {Aut} (p^{-1}(x))$ 是单射），对于 $x\in X$ 的不同选取，此作用仅差个自然的同构。